Uma sequência famosa!

Num certo trecho do livro ‘’O Código da Vinci’’, o assassino criado por Dan Brown deixa uma sequência de números como pista da sua identidade e é a especialista em matemática, Sophie Neveu, que lhes descobre o sentido: os números da misteriosa sequência são termos da sequência de Fibonacci.


A sequência de Fibonacci é uma sucessão de números inteiros que começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… e continua indefinidamente tendo propriedades intrigantes. A sua principal característica está na definição da sua estrutura: cada número da sequência é igual à soma dos dois que o antecedem. Por exemplo, o oitavo número, 21, é a soma de 8 com 13, sendo 8 e 13 os antecessores de 21 na sequência. Conhecendo esta propriedade, seriamos capazes de gerar qualquer número da sequência desde que conhecêssemos os dois anteriores.


A sequência de Fibonacci é referida pela primeira vez numa publicação de Leonardo Fibonacci (ou Leonardo de Pisa), em 1202. Fibonacci refletia sobre o seguinte problema relacionado com a reprodução de uma família de coelhos:


Ao fim de um ano, quantos coelhos terá uma população que inicialmente tem apenas um casal se a sua reprodução acontecer de acordo com as regras seguintes: o casal de coelhos no primeiro mês de vida não é fértil, a partir do segundo mês de vida cada casal de coelhos dá à luz um novo casal e os coelhos nunca morrem.


Fibonacci concluiu que o número de coelhos em cada geração obedece a um padrão que coincide com o atrás descrito para gerar os números da sequência.


Se dividirmos cada número da sequência de Fibonacci pelo que o antecede, verificaremos outra propriedade curiosa dos números da sequência:


1:1=1, 2:1=2, 3:2=1.500, 5:3=1.333, 8:5=1.600, 13:8=1.625, 21:13=1.615, 34:21=1.619, 55:34=1.617…


Os resultados das sucessivas divisões aproximam-se rapidamente de um valor compreendido entre 1.618 e 1.619 que é conhecido como número de ouro (o seu valor exato é φ=(1+5):2) que aparece inesperadamente associado a muitos fenómenos da natureza.


Nas proporções das espirais de certas conchas a sequência de Fibonacci está presente. Os números desta sequência estão também associados aos caules de certas plantas, que permitem que os raios solares incidam uniformemente em todas as folhas da planta. Os compositores de música clássica e contemporânea usam a sequência de Fibonacci como inspiração.


Uma aplicação interessante da sequência de Fibonacci é a conversão de milhas para quilómetros. Para ter uma noção, ainda que aproximada, de quantos quilómetros equivalem a 13 milhas, considera-se o número que aparece depois de 13 na sequência de Fibonacci. Treze milhas equivalem a, aproximadamente, 21 quilómetros. Este método funciona devido a uma coincidência: o fator de conversão de milhas para quilómetros é 1.609, um valor muito próximo do número de ouro.

Figura 1: Exemplo da sequência de Fibonacci: número de casais de coelhos por mês (Fonte: (http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FibonacciRabbit.svg)

M. Fátima Pacheco, Ana I. Pereira e Florbela Fernandes (Instituto Politécnico de Bragança) - 2013-04-02 15:48:57