Geometria e economia na vida das abelhas

Sabia que para além de construírem os favos com a forma regular que conhecemos, as abelhas conseguem construir alvéolos com a maior capacidade e solidez, empregando a menor quantidade de matéria possível?


As abelhas constroem os alvéolos de acordo com as suas dimensões, em conformidade com o diâmetro do seu abdómen e do seu comprimento. Os alvéolos estão dispostos de tal forma que, encostados uns aos outros não deixam espaços abertos entre si e as suas secções transversais são hexagonais. Três hexágonos regulares justapostos cobrem uma porção de plano, mas tal também aconteceria se os alvéolos fossem quadrados ou triângulos equiláteros. Porém, considerando quadrados, hexágonos e triângulos com os lados todos iguais e com o mesmo perímetro, os hexágonos são aqueles que cobrem uma maior superfície.


No sentido de reduzir custos de cera, os alvéolos têm a forma aproximada de prismas hexagonais. Os favos são construídos de modo a que duas células contíguas partilhem uma das paredes laterais. Os fundos dos alvéolos não assentam em planos, mas em superfícies romboédricas compostas por três losangos, como ilustra a figura 2.


As abelhas fecham uma das extremidades dos alvéolos com três losangos iguais, de forma a minimizar a sua superfície, garantido a maior capacidade possível. Esta construção permite encaixar cada alvéolo em três outros alvéolos vizinhos, sem desperdício de espaço, e com um ganho de um alvéolo por cada cinquenta. Diversas medições dos ângulos dos losangos confirmam o seguinte padrão: os ângulos obtusos medem 109º28’, os agudos medem 70º32’.


Ao longo da história, esta regularidade foi apaixonando vários matemáticos, que tentaram justificar, pela via do cálculo, as escolhas das abelhas. No século XVIII, o matemático MacLaurin provou, finalmente, que elas estão certas da construção mais económica. As abelhas são especialistas na resolução do seguinte problema de otimização: maximizar o volume de prismas hexagonais e minimizar a sua área superficial, isto é, gastar o mínimo de cera e armazenar a maior quantidade de mel.

Figura 1: Formas geométricas que garantem o encaixe quando da sua replicação

Figura 2: Superfícies romboédricas do fundo de um alvéolo

Edite Cordeiro, Ilda Reis (Instituto Politécnico de Bragança) - 2013-05-04 16:44:54