Seja n um número com 3 algarismos diferentes, n=100a+10b+c

1) O número escrito de trás para a frente é dado por m=100c+10b+a.

2) Considerando que n>m, quando fazemos a subtração obtemos: n-m=99(a+c), isto é, n-m é um múltiplo de 99, compreendido entre 1 e 1000, logo os resultados possíveis são: 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891 e o 990. Ou seja, números com o algarismo 9 na 2ª posição e a soma dos algarismos que estão nas 1ª e 3ª posições é sempre igual a 9.

3) Efetuando a soma de cada um dos números com o seu correspondente (número escrito de trás para a frente) Seja =100+10×9+w, com q+w=9, e k=100w+10×9+q, então obtemos l+k=101q+180+101w=101*9+180=1089.

Como pode constatar, o resultado é sempre 1089, por isso, este número é conhecido como o número mágico.

O raciocínio é semelhante se m>n.